复利的威力到底有多大？

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在前一段热映的电影《动物世界》中有这么一个情节：郑开司被朋友坑欠上了高利贷。不得不上了一条贼船开始了石头剪刀布的赌博游戏。在游戏途中。郑开司向庄家借款。按分钟复利计算。片中角色多次提到：利息将是一个天文数字。

我们在储蓄时。经常听说“单利”和“复利”两个词。简单来说。单利就是在计算利息时只考虑初期借款额。而复利俗称利滚利。就是每隔一段时间。将本金和利息算作新的本金。计算下一期利息。那么。复利真的有这么厉害嘛？复利的多少到底和什么因素有关呢？

为了了解这个问题。我们首先来研究一个简单的模型：如果一个人从别人处借款100元。年利率12%。借款1年。1年后一次性付清本息。那么最后到底有多少利息？

单利和复利

如果利息是单利。那么情况非常简单：每年的利息是100元×12%=12元。到期时一共还款112元。

如果利息是复利。那么这个12%就是名义年利率。我们除了要知道名义年利率。还要知道复利的分期——即多长时间计算一次复利。

比如：每半年计算一次复利。那么半年的名义利率就是12%÷2=6%。于是：

六个月末。将100元记作本金。计算半年利息。本息一共

一年末。将106元作为新的本金。计算半年利息。期末本息共

相比于单利。复利多了0.36元。看起来并没有太夸张。这是因为。我们计算的每期复利时间比较长。复利期数较少。如果我们缩短计算复利间隔。情况又是如何呢？

如果每个月计算一次复利。那么每个月的名义利率就是12%÷12=1%。同时我们要计算12次本息。因此每个月的本息和是：

十二个月后。本息一共是

相比于半年复利的112.36元。月复利的本息和又多了0.32元。

我们不妨来总结一个公式：假设复利的名义年利率是r。借款1年。分期数为n。那么每一期的名义利率就是r/n。如果初期借款是P。那么到期还款的本息F一共：

期数n越多。每一期的期限就越短。每一期的名义利率r/n就会越低。但是由于总期数多了。总体的利息会变得越高。如果按天复利、按分钟复利甚至按秒钟复利。计算结果就会更大。

那么问题来了：如果我们把期数n取做无穷大。每一期的计算复利时间无限短。就称之为连续复利。连续复利到期的本息F到底是多少呢？利息会变成无穷大吗？

为了计算这个问题。我们需要了解一个非常重要的常数：e

欧拉数e

e是一个无理数。称为自然对数的底。人们最早研究e的目的是为了求解某些乘方和开方问题。后来。数学家欧拉对其进行了深刻的研究。并用字母e来表示它。恰巧欧拉的名字首字母也是E（Euler）。所以人们也称之为欧拉常数。

欧拉计算了这样一个问题：

令

当n=1时。x=2

当n=2时。x=2.25

当n=3时。x=2.37037…

我们按照这个方法计算下去。可以得到一张图

从这张图我们会发现。当n增大时。x会趋近于一个固定值。欧拉从数学上严格证明了当n趋向于无穷大时。x会有一个极限值。并将这个值称为e。

现在我们计算e一般是通过泰勒展开的方式。e可以展开为

其中n！称为n的阶乘。n！=1×2×3×… ×(n-1) ×n。并且0！=1.

e是一个无理数。它的前几位是2.718281828459045…。其实很好记。大家看。首先是2.71828。然后1828重复一次。再往后是等腰直角三角形的三个内角45、90、45。这个常数在工程计算上的作用一点不比圆周率π小。大家都知道π≈3.1415926。那也应该知道e≈2.71828。

连续复利

现在我们可以利用欧拉数e计算连续复利了。回到最初的问题：初期借款为P。名义年利率r。借款1年。分期n期。那么最终本息一共

如果n趋向于无穷大。我们可以将这个式子变形：

我们会发现：当n趋向于无穷大时。n/r也趋向于无穷大。因此

所以。我们得到最终的本息一共

这就是年利率为r的连续复利一年后本息的计算公式。

从公式我们可以看出：即便把复利分期时间取得无限短。复利依然是有上限的。我们代入P=100元。r=12%。可以得到连续复利时一年后本息一共

看起来也不比单利多多少嘛。

复利为什么厉害？

复利会受到两个因素的限制。其一是名义利率。其二是期限。名义利率越高。期限越长。复利的威力也会越大。我们刚刚计算的是借款1年。如果名义年利率为r。借款年限为k年。每过一年。还款额都要乘以e的r次幂。按照连续复利。最终的还款额为

假如借款100元。名义年利率12%。借款30年连续复利。30年后本息一共是3660元。是本金的36倍多。但是如果是单利。则只需要还款460元。两者相差太多了。

在高利率、长时间借款的情况下。复利的确比单利威力大得多。股神巴菲特的公司每年财富的增长率为24%。看起来并不高。但是他连续保持了40年这样的增长率。这也使得巴菲特的资产从100美元变成了160亿美元。

在电影《动物世界》中。船上借款按分钟复利。这已经与连续复利相差无几。电影中并没有说明具体利率是多少。但是由于在船上的时间很短。下船时利息并不会有多少。只要他们下船能尽快把钱还上。就不会积累成天文数字了。

小胖说这句话。原因不是不懂数学。就是故意说假话。骗李军不去救郑开思。听说这部剧还有第二部。不知道第二部里会不会告诉我们这个利率具体是多少呢？

其他观点：

贵族后人说。我不仅都还给你了还多付了你299美元。不要得寸进尺。凯撒后人笑着说。你算错了。我要的是你按照10%的复利来归还而不是按单利算出来的201美元；贵族后人听完后瞬间倒地！为什么呢。因为按照复利。他需要还的是1*（1+10%）的两千次方。算出来估计是能买下整个银河系的数。贵族后人也算脑子很灵光。不装死就要破产永无翻身之日了~~

谨记。以后借钱一定约定好单利还款！

其他观点：

一般说到投资。所有人都会说到复利。包括我自己也是。但是当聊起复利的时候。我们又要给他带上一个非常重要的前缀。我们应该是追求“稳定的复利。”所以在上面1和2的选择当中。我选择1。因为谁知道接下来每天你都可以保证给我前一天两倍的钱。诸如那个国王和学者打赌的例子。虽然数据上可以看出国王已经输了。但是国王完全可以赖账。甚至迫害那个戏弄自己的学者。

所以所见便是所得。拿不到的永远拿不到。当我们要在确定性和不确定性之间选择的时候。我们选择确定性。复利就是这么一个东西。时间仍然具有成本。这里面有机会成本。也有风险给予的成本。诸如系统风险和非系统风险。当一个人获得投资收益的时候。风险和未来预期的收益一般是对等的。

所以你追求的复利是什么？是简单的数学给予的获得感吗？不是的。复利之所以强劲。不在于复利的数学魅力。而在于稳定的魅力。可预期的魅力。这个和现实中我们看到的景象大不相同。很多人觉得稳定是一个可有可无的东西。所以在计算未来投资收益的时候。喜欢锚定着去看。也就是用今年的净利润来猜测明年的净利润。而把眼下的增长看成是永远的增长。在现实中这是非常困难的。从一个公司的长期来看。每一个公司都存在生命周期。从导入。成长。成熟直到衰退。公司的生长周而复始。有些公司通过转型获得了新的生机。但是新公司已然不是过去的状态。我们如果静态的盯着公司。很容易掉入复利陷阱。

投资人最终需要看清的是稳定性。即使是10%的复利。在世界上也是很优秀的投资者。然而。稳定复利很难。需要克服现实的问题。更要克服自己人性中的弱点。

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