有理数是连续的吗？

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热门回答：

这个问题有深度。数学本是物理工具。数理不分家。还得物理角度思考。以下是我的解答。

从“无间断点”来定义连续。要求无限可微即dx→0。只是一个理想化的数学模型。但在自然科学上不是教条。

其他观点：

任意两个有理数之间可以插入一个有理数。例如两个有理数的平均值。这个性质告诉我们有理数要多密集有多密集。这叫有理数数是稠密的。任意的两个有理数之间还可以插入无理数。这就把有理数隔断了。所以不能说有理数是连续的。

其他观点：

这个问题实际上已经达到了数论的边缘。在高等数学中才能真正的回答。在这里我进行通俗化讲解。其论证过程虽然不符合严谨的数学要求。但也能从理解的意义上说清道理。

从实数的稠密性谈起：

实数有2个性质。分别叫做“连续性”和“稠密性”。其中稠密性在初等数学中没有提到。高考时也不涉及。把稠密性的意思进行通俗化解释。就是：任意两个实数之间。都存在无穷多个实数（这些实数是连续的。其中包含有理数和无理数）；也可以理解为：数轴上任意两点之间（任意两个实数之间）都存在一段不包含端点的数轴（无穷多连续的实数）。无论这段数轴有多短。其上都具备完整数轴的所有特征。

从数轴谈起：

数轴。也就是实数轴。数轴上的点和实数存在一一对应关系。实数范围是（-∞。+∞）。如果我们取两个实数为0和1。就会得到数轴上的一段。用区间表示为（0,1）。虽然这个区间是有界的。区间长度（1）也非常短。但由于区间为开区间。实际上其上的实数向左趋零时是“无限靠近、用不到达”。近似于数轴上的向左“无限远、用不到达”；向右趋1时。也是“无限靠近、用不到达”（理解为数的大小。即为无限小）。近似于数轴上的向右“无限远、用不到达”（理解为数的大小。即为无限大）。如果把（0,1）的中点0.5设定为基点（或者理解为参照点。类似原点0）。那么0.4就可以理解为-0.1。0.6就可以理解为0.1。我们在此基础上重新理解这段数轴：有了向右为正方向。0.5为原点。向左为负方向。这段数轴距离完整数轴只差一个要素：单位长度。如果设定单位长度为-0.0000000000……00001为单位长度（1）。那么此时这段数轴的右端点就可以理解为+∞了。这样画出来的数轴。和完整数轴有多大却别呢。

如果你认为（0,1）中的0和1距离还太远。那么。我们可以去任意近的两个数a、b。获得区间（a,b）。比如（0.0000001,0.00002）。使用上面的操作方法。仍然可以获得一条近似完整的数轴。

结论：

由于所取的两个端点数可以是任意的。所以我们可以得出结论：任意两个实数（无论是有理数还是无理数）对应的点之间都存在一段连续的数轴。或者说。任意两个实数之间都存在无穷多连续的实数。其中有无穷多有理数。也有无穷多无理数。

该结论的一个子结论是：任意两个有理数之间都有无穷多个实数。其中有无穷多个有理数。也有无穷多个无理数。

再换个说法：任意两个有理数之间。都有无穷多个无理数。

所以。最终结论是：有理数是不连续的。

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