古代数学中的“化圆为方”是什么意思？该如何理解这一概念？

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化圆为方。与三等分角、倍立方体并称古希腊三大几何作图问题。给定一个圆。它要求我们用圆规和直尺画出一个面积相等的正方形。这个坑一挖开。从古希腊到现在不断有人往里跳。

化圆为方传说

化圆为方问题（problem of quadrature of circle）是二千四百多年前古希腊人提出的三大几何作图问题之一。即求作一个正方形。使其面积等于已知圆的面积。

古希腊的时候。有一位学者。叫做安拉克萨哥拉。相传哲学家安娜萨格拉斯在研究太阳时发现。“太阳是一个大火球。并不是人们所说的阿波罗神。”由于这一发现被认为是对神的亵渎。于是他被投入了监狱里。他对自己的遭遇感到愤愤不平。无法安睡。明亮的月光透过方形的窗户照下来。于是他对月亮和方形窗户产生了兴趣。他不断变换位置。使得窗外的月亮有时看起来比窗户大。有时看起来比窗户小。于是他想到什么时候月亮的面积和窗户的面积一样大呢？

他将这个问题转化为：求做一个正方形。使得它的面积等于已知圆的面积的作图问题。这就是著名的化圆为方的问题。问题可转化为：已知圆的半径为1。所求作的正方形边长为x。则需满足x²-π=0,即x=√π.

这个问题看似简单。然而却难住了安拉克萨哥拉。因为。在古希腊。对作图工具进行了限制。那就是：作图时只准许使用直尺和圆规。

安拉克萨哥拉在狱中苦苦思考这个问题。完全忘了自己是一个待处决的犯人。后来。由于好朋友。当时杰出的政治家伯利克里的营救。安拉克萨哥拉获释出狱。然而这个问题。他自己没有能够解决。整个古希腊的数学家也没能解决。成为历史上有名的三大几何难题之一。后来。在两千多年的时间里。无数数学家对这个问题进行了论证。可还是没有得出答案。

达·芬奇的“解法”

有人跳坑。也就肯定有人耍点小聪明绕道而行。天才总是不拘一格的……。达芬奇给出的解法。是这样的：用一个以已知圆为底。高度为已知圆的半径的一半的圆柱体。在平面上滚动一周。所得出来的矩形的面积即为：S=2πr·1/2r=πr²。然后将这个矩形化为等面积的正方形即可。（如下图）。

这个方法相当狡猾。用“度量”的方法巧妙避开了“作出 π 的平方根”这个问题。当然。在欧几里德这些希腊人的眼中。这种方法只是取巧。因为一来不精确。二来太犯规。用了直尺圆规以外的工具。即使用直尺和圆规来度量也不行。尺规作图的规定就是。直尺只能拿来画直线。圆规则是画圆。它们不能有“度量”的功能。

由此可见。化圆为方的问题和π值的计算问题是紧密联系在一起的。在我国古代。对于π值的研究和计算却有着光荣而悠久的历史。伟大的数学家祖冲之对π的研究和计算有很大的贡献。远在公元460年他就求出π的值是：3.1415926<π<3.1415927. 那么化圆为方的问题则转化为用尺规作图作出长度为√π线段。同样。化圆为方的问题用尺规作图仍然是不能解决的！

简单的说。化圆为方的本质是用尺规作图的方法做出长度为π的平方根的线段。由上面给出的信息可知。根本不可能用标尺做出长度为π的平方根的线段。所以此题无解。

塔斯基的问题

那如果我们用更基本的东西来完成任务呢？比如说将圆切成几块。然后拼成一个正方形？那虽然不能说是“尺规作图”。但在某种意义上比尺规作图更基本。不是吗？

数学家塔斯基（Alfred Tarski）在 1925 年提出的。正是这样一个挑战。用更精确的数学语言来说。就是要求把平面上的单位圆盘分割成有限块。每一块是一个点集。然后通过平移和旋转这些保持面积的方法。将这些点集拼成面积相同的正方形。怎么分割都无所谓。甚至是没办法做出来的分割也可以。唯独是“有限块”这种限制不能去掉。如果能分割成无限块的话。那就太简单了。只要把单位圆盘“磨成细末”。每一块都只有一个点的话。那别说是拼成正方形。就是拼成一幅对联也问题不大。即使是犯规。也是有底线的。

这乍听起来是个很无理的问题。别的先不说。要把圆变成正方形。总要先处理那弯弯的圆周吧？看起来无论怎么切。只要是有限块。那恐怕也不能将弯曲的边界拗成直线。实际上。可以证明。如果只用剪刀这样的工具的话（从数学上来说就是如果每一块的边界都是简单闭合曲线的话）。这个任务是不可能做到的。但是。原来的题目中也没有限制只能用剪刀。只要是“点集”。无论是否连在一起。都符合要求。所以希望还有。不过就是更“犯规”一点而已。

从化圆为方到选择公理。拉兹柯维奇的答案

在 1990 年。匈牙利数学家拉兹柯维奇（Miklós Laczkovich）终于肯定地解答了塔斯基的这个问题。他证明了这样的先割后补的“化圆为方”方法是存在的。美中不足的是。他并没有实际给出一个割补的方法。而只是证明了这样的方法存在。而且粗略估计需要将圆切成大约 10 的 50 次方个点集。而更为犯规的是。这些点集是没有面积的。这些点集甚至不是面积为 0。而是我们根本无法定义它们的面积。在数学上。这些无法定义面积的点集叫不可测集。为了定义这些集合。拉兹柯维奇在证明中大量使用了选择公理。这是定义不可测集的唯一方法。也是令我们不能明确构造分割方法的原因。

尽管现在大多数数学家都会自然地运用选择公理和它的各种变种。但在 20 世纪初。公理集合论起步伊始之时。是否允许使用选择公理曾经是热门的争论话题之一。直接与针对数学基础的第三次数学革命扯上了关系。整场风波围绕着一个问题：什么是可以被接受的数学推理？这场关于数学基础的争论持续了几十年才慢慢平息下来。

结语

这一问题既引人入胜。又十分困难。问题的妙处在于它们从形式上看非常简单。而实际上却有着深刻的内涵。它们都要求作图只能使用圆规和无刻度的直尺。而且只能有限次地使用直尺和圆规。但直尺和圆规所能作的基本图形只有：过两点画一条直线、作圆、作两条直线的交点、作两圆的交点、作一条直线与一个圆的交点。某个图形是可作的就是指从若干点出发。可以通过有限个上述基本图形复合得到。这一过程中隐含了近代代数学的思想。经过2000多年的艰苦探索。数学家们终于弄清楚了这3个古典难题是“不可能用尺规完成的作图题”。认识到有些事情确实是不可能的。这是数学思想的一大飞跃。

这一问题的无解并不重要。重要的是人们在解决问题的时候。会发现很多以前从来没有见过的知识。这些知识是数学发展的动力。而作为促进发现这些知识的问题。则是数学的真正生命力所在。可以这么说。如果哪一天。数学不能够再提出新的问题。那这门学科就已经走到尽头了。当我们怀着这样的心情来看数学界中种种不可思议的谜题时。是不是突然觉得：

参考文献：木遥在科学松鼠会上的文章。 长度是怎样炼成的

其他观点：

问题的核心在于长度为根号pi的线段长如何作出。其实大家可以动手画一画。其实相当困难。

问题的解题

直到十九世纪后。数学家伽罗瓦和阿贝尔开创了群论来讨论有理数系数多项式方程解的方法。人们才开始到这个问题的本质。

如此。将所有的Ｅ－尺规可作的点的集合记作Ｓ（Ｅ）。而所有从Ｅ能尺规作出的点集就是另一个相关概念了：规矩数。即Ｈ是从集合Ｅo（０。０）（０。１）开始。尺规可作点的集合：那么规矩数定义为Ｈ的点的横坐标和纵坐标表达的数。定义：实数a和b是规矩数仅当（a,b)是Ｈ中的一个点。如此。一直将问题的讨论延伸至复数域。可以证明得数规矩数是复数集的子集。尺规作图问题从几何问题转化为代数问题：能够用尺规作出的数Ｚ都有对应的最小多项式。

1882年。林德曼等人证明了圆周率pi并不存在这样的有理多项式m(z)。使m(z)=0的根为pi。这样的数被称之为超越数。而将与之对应的数学称之为代数数。所有的规矩数都是代数数。而圆周率pi不是。当然。对这个证明有兴趣的大家可以参考林德曼－魏尔斯特拉斯定理。

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其他观点：

以我个人之见。这是一种计算的简便方法（如。5度的弧长近等于直线）。另外。在运动的质点做功的路程上也有一种特殊的意义（如。天圆地方）等。都有很多不同的意义。谬论及多。敬请批驳。

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